Завдання для учнів ІІ курсу ( повторення за І курс)

Алгебра і початки аналізу

1. Побудуйте графік функції у = ctg x на проміжку (0; π) та знайдіть:

а) значення у, якщо ;

б) значення x, якщо у = -1;

в) проміжок, на якому функція спадає. 

2. Побудуйте графік функції у = ctg , 

3. Знайдіть область визначення функції . 

4. Визначити парність (непарність) функції f(x) = cos2 x + sin x - х.

5. Знайдіть тригонометричні функції числа . 

6. Побудуйте графік функції у = ctg x + |ctg x|. 

7. Побудуйте графік функції у = tg х на проміжку   та знайдіть:

а) значення у, якщо х = ;

б) значення х, якщо у = 1;

в) проміжок, на якому функція зростає. 

8. Побудуйте графік функції у = tg 2х.

9. Знайдіть область визначення функції у = .  

10. Визначити парність (непарність) функції f(x) = sin х + cos х - х2. 

11. Знайдіть тригонометричні функції числа . 

12. Побудуйте графік функції у = tg х - │tg x│. 

13. Розв'яжіть рівняння:

а) 2sin 3х + 1 = 0. (2 бали)          

б) 4cos2 x + 4sin x – 1 = 0. (2 бали)

в) 1 – cos 4x = sin 2х. (2 бали)     

Геометрія

1.  Доведіть, що пряма с, яка перетинає дві дані паралельні прямі а і b, лежить з ними в одній площині. 

2.  Через кінець А відрізка АВ проведено площину. Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетина­ють площину в точках В₁ і С₁. Знайдіть довжину відрізка СС₁, якщо ВВ₁ = a , AC : BC = т : η. 

Доведіть, що діагоналі AC₁ і ΒD₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ перетина­ються і точкою перетину діляться пополам. 

3. Сторона АВ трикутника АВС лежить у площині α, а вершина С не лежить в цій площині. Точки М і N — середини сторін АС і ВС від­повідно. Доведіть, що пряма MN паралельна площині α. 

4.  Дано дві паралельні площини α і β. Точки А і В належать площи­ні α, точки С і D — площині β. Відрізки AD і ВС перетинаються в точці М, АВ = 10 см, BM = 6 см, CM = 12 см. Знайти довжину відрізка CD. 

5.     Відстань від точки М до всіх вершин квадрата дорівнює 10 см. Знайти відстань від точки М до площини квадрата, якщо діагональ квадрата дорівнює 12 см. 

6.       З точки А, взятої поза площиною α, проведені до неї дві похилі, до­вжини яких дорівнюють 10 і 17 см. Різниця проекцій цих похилих на площину α дорівнює 9 см. Знайти проекції похилих. 

7.Правильний трикутник розташований над площиною. Доведіть, що відстань від центра трикутника до даної площини дорівнює середньому арифметичному відстаней від вершин цього трикут­ника до цієї площини. 

8.Дано точки А(1; -1; -1), B(-1; 1; 1), C(0; 0; 1).

а) Чи правильно, що точка С — середина відрізка АВ? (2 бали)

б) Знайдіть довжину відрізка АС. (2 бали)

в) Запишіть координати точки В₁, яка симетрична точці В віднос­но осі у.         

9. Доведіть, що чотирикутник ABCD є ромбом, якщо А (6; 7; 8), В (8; 2; 6),     С(4; 3; 2), D (2; 8; 4). 

10. Знайдіть довжину медіани ВВ₁ трикутника з вершинами А (4;0;-8), В(2;0;3), С (16; 2; 8).